מבחינת מתמטיקה טהורה, אתה צודק לגמרי: אין נתונים ואין ניסויים.

מפשט יתר על המידה בצורה דרסטית, פרויקט חקר מתמטיקה הולך כך: p> פתח, או בחר מתוך הספרות הקיימת, אמירה מתמטית ("השערה") שלדעתך תעניין מתמטיקאים אחרים, ואמתה או שווא אינם ידועים. (למשל, "יש אינסוף זוגות של מספרים ראשוניים הנבדלים ב -2.") זהו ה בעיה .

הדיון הבא יהיה הרבה יותר הגיוני לכל מי שניסה לכתוב הוכחות מתמטיות בכל עת. ברמה, אבל אנסה אנלוגיה. הוכחה מתמטית מתוארת לרוב כשרשרת של ניכויים לוגיים, החל ממשהו שידוע (או שמוסכם בדרך כלל) שהוא אמיתי, וכלה באמירה שאתה מנסה להוכיח. כל קישור חייב להיות תוצאה הגיונית של זה שלפניו.

לבעיה פשוטה מאוד, להוכחה יכול להיות רק קישור אחד: במקרה זה לעתים קרובות ניתן לראות את הפתרון באופן מיידי. בדרך כלל זה לא יהיה מעניין מספיק בכדי לפרסם בכוחות עצמו, אם כי עבודות מתמטיקה מכילות בדרך כלל כמה תוצאות כאלה ("למות") המשמשות כצעד ביניים בדרך למשהו מעניין יותר.

אז נותר אחד, כמו שאתה אומר, "להתמודד עם זה טיפין טיפין". אתה בונה את השרשרת בכל פעם חוליה. אולי אתה מתחיל מההתחלה (משהו שכבר ידוע שהוא נכון) ומנסה לבנות לקראת ההצהרה שאתה רוצה להוכיח. אולי אתה הולך בדרך אחרת: מההצהרה הרצויה, עבוד אחורה לעבר משהו שידוע. אולי תנסה לבנות אורכי שרשרת חופשיים באמצע ומקווה שבהמשך תצליח לקשר אותם יחד. אתה צריך מידה מסוימת של ניסיון ואינטואיציה כדי לנחש לאיזה כיוון אתה צריך לכוון את השרשרת שלך כדי להגיע בסופו של דבר לאן שהיא צריכה ללכת. בדרך כלל יש הרבה התחלות שווא ומבוי סתום לפני שתשלים את השרשרת. (אם אכן תצליח. אולי אתה פשוט נתקע לגמרי, זונח את הפרויקט ומוצא חדש לעבוד עליו. אני חושד שזה קורה לרוב המכריע של פרויקטי מחקר במתמטיקה שהתחילו אי פעם.)

כמובן, אתה רוצה לנצל את העבודה שכבר ביצעו אנשים אחרים: להשתמש במשפטים שלהם כדי להצדיק את השלבים בהוכחה שלך. במובן מופשט, אתה לוקח את השרשרת שלהם וחותך אותה לשלך. אך במתמטיקה, כמו בעיצוב תוכנה, העתקה והדבקה היא מתודולוגיה לקויה לשימוש חוזר בקודים. אתה לא חוזר על ההוכחה שלהם; אתה פשוט מצטט את הנייר שלהם ומשתמש במשפט שלהם. באנלוגיית התוכנה, אתה מקשר את התוכנית שלך לספרייה שלהם.

ייתכן שתמצא משפט שפורסם שאינו מוכיח בדיוק את היצירה שאתה זקוק לה, אך ניתן להתאים את ההוכחה שלה. אז לפעמים זה הופך לשווה ערך של העתקה והדבקה של קוד של מישהו אחר (נותן להם אשראי ראוי, כמובן) אך משנה כמה שורות היכן שצריך. לעתים קרובות יותר השינויים נרחבים יותר והגרסה שלך בסופו של דבר נראית כמו יישום מחדש מאפס, התומך כעת בתכונות הנוספות הנדרשות.

"התקדמות מקובלת" היא סובייקטיבית למדי ובדרך כלל מבוססת על עד כמה משפט המשפט שלך מעניין או שימושי בהשוואה לגוף הידע הקיים. במקרים מסוימים משפט שנראה כמו שיפור קל מאוד במשהו שהיה ידוע בעבר יכול להוות פריצת דרך עצומה. במקרים אחרים, משפט יכול לקבל כל מיני תוצאות חדשות, אך אולי הם לא מועילים להוכחת משפטים נוספים שמישהו מעניין, ולכן לאף אחד לא אכפת.

כעת, לאורך כל התהליך הזה, הנה מה שצופה חיצוני רואה אותך עושה:

• חפש ספרים ועיתונים.

• קרא אותם.

• בהה בחלל לזמן מה. לוח גיר. (הסמלים עצמם בדרך כלל משמעותיים למתמטיקאים אחרים, אך בכל רגע נתון, ההקשר בו הם הגיוניים עשוי להתקיים רק בראשכם.)

• שרבטו סמלים בלתי ניתנים להרחבה. על הנייר.

• השתמש ב- LaTeX כדי לייצר סמלים בלתי ניתנים לבדיקה מסוגים משובצים במונחים טכניים בלתי מובנים, המחוברים בהמון "לפיכך" ו"כאן ".

• לולאה עד לסיום.

• הגש ג'יבריש מסוג זה יפהפה לכתב העת. p> הגש בקשה למימון.

• השתתף בכנס, שבו אתה מדבר בצורה לא מובנת על הקשקושים שלך, ומקשיב לאחרים עושים את אותו הדבר לגבי שלהם.

• לולאה עד אמריטוס, או אולי עד שמת ( במובן של Erdős).

למעשה, אפילו במתמטיקה טהורה, לעתים קרובות ניתן לעשות ניסויים מסוג זה.

מקובל מאוד להגיע להשערה שנראית סבירה, אך אינך בטוח אם היא נכונה או שלא. אם זה נכון, הוכחה שזו כנראה עבודה רבה; אם זה שקר, מוכיח שגם זה יכול להיות הרבה מאוד עבודה. אבל, אם זה נכון, הניסיון להוכיח שהוא שקר הוא עצום כמות עבודה! לפני שתשקיע מאמצים רבים בניסיון להוכיח את הכיוון הלא נכון, כדאי לקבל קצת אינטואיציה לגבי המצב והאם ההצהרה נראית נכונה יותר או שקרית. מחשבים יכולים להיות שימושיים מאוד לסוג כזה: אתה יכול ליצור הרבה דוגמאות ולראות אם הן מספקות את ההשערה שלך. אם כן, אולי תנסה להוכיח שההשערה שלך נכונה; אם לא, אתה יכול לנסות לחדד את ההשערה שלך על ידי הוספת תנאים נוספים לה.

ראה גם התשובה של אוסוולד וובלן המדברת על ביצוע "ניסויים" דומים ביד.

נקודה אחת שיש לשים לב אליה היא שבשביל כמה שאלות ניתן לבצע ניסויים לקבלת נתונים. שאלות מסוימות הן דברים שיש לנו כעת ליצור תוכנות מחשב, ולפני כן ניתן היה לעשות אותן בקנה מידה מוגבל בהרבה ביד. כך שבמקרים מסוימים מתמטיקאים עובדים יותר כמו מדענים ניסיוניים. מצד שני, ברגע שהם מצאו מה שנראה כמו דפוס, הם משנים גישה. איסוף דוגמאות נוספות אינו מועיל במיוחד (אלא אם כן תמצא דוגמה נגדית, אך זה יכול להיות מעודד) - עליך למצוא הוכחה ממשית.

באופן כללי, כמעט כל תוצאה גדולה תגיע מ כמה 'ניסויים': אתה מנסה מקרים מיוחדים, מקרים עם השערות רבות יותר, מקרים קיצוניים העלולים לגרום לכישלונות ...

בנקודה 'העתק והדבק', מתמטיקאים כן משתמשים בהרבה ממה אנשים אחרים עשו (בדרך כלל הם חייבים), אך בעוד שאתה עשוי להעתיק את הקוד של מישהו כדי להשתמש בו, כאשר אתה מצטט משפט אתה לא צריך להעתיק את ההוכחה. אז מבחינת שטח כתוב בעיתון, החלק 'מועתק' הוא קטן מאוד. יש לכך יוצאים מן הכלל (גדולים למדי): לעתים קרובות למדי הוכחה שמישהו נתן קרובה מאוד למה שאתה צריך, אבל לא מספיק טובה, כי אתה רוצה להשתמש בה למשהו שונה ממה שהם עשו. אז אתה יכול בסופו של דבר לכתוב משהו דומה מאוד, אבל עם tweaks עדין משלך. אני מניח שאתה יכול לראות את זה כמו להתאים מכונה של מישהו אחר (אנחנו מכנים דברים גם מכונות, אבל כאן אני מתכוון למכונה פיזית). ההבדל הוא שבדרך כלל על מנת לעשות דברים מסוג זה עליכם להבין לחלוטין מה המכונה עושה. סיבה גדולה נוספת ל'העתקה 'היא שייתכן שתצטרך (מסיבות תיאורטיות בפועל או מסיבות אקספוזיציה) לבנות על פעולות המכונה בפועל, ולא רק על הפלט שהיא נותנת.

עוד על נקודת השאלה: כמתמטיקאי, אתה בדרך כלל קורא, ושואף להבין, מה אנשים אחרים עשו. זה נותן לך בנק של כלים שתוכל להשתמש בהם - תוצאות (שתוכל או אולי תצליח להוכיח את עצמך לגמרי) ושיטות שעבדו בעבר. אתה בונה רעיון לגבי דברים שנוטים לעבוד, וכיצד להתאים דברים מעט לעבודה במצבים דומים. אתה עושה כמות ניכרת של ניסוי וטעייה - אתה מנסה משהו, אבל מבין שאתה נתקע בשלב מסוים. ואז אתה מנסה להבין מדוע אתה תקוע, ואם יש דרך. אתה מנסה להוכיח את ההיפך ממה שאתה רוצה, ולראות איפה אתה נתקע (או לא!).

ברגע שיש לך הוכחת עבודה, אתה רואה אם ​​יש / יכולים דברים קשורים זה לזה לא להוכיח. מה קורה אם אתה מסיר / משנה השערה? כמו כן, האם ההצהרה ההפוכה מתקיימת? אם לא לגמרי, האם ישנם מקרים שבהם זה קורה? אתה יכול לתת דוגמאות כדי להראות שהתוצאה שלך טובה ככל האפשר? האם אתה יכול לשלב את זה עם דברים אחרים שאתה יודע עליהם?

מקור נוסף לשאלות הוא במה שאנשים אחרים מעוניינים. לפעמים אתה יודע לעשות משהו שהם רוצים לעשות, אבל לא חשבת על זה עד הם שאלו.

עוד נקודה שהייתי רוצה להעלות ב"קטגוריות שיטות ההוכחה "היא שלפחות מבחינתי יש דרגה בה אני עובד על ידי" מרגיש ". אתה מכיר את הפאזלים האלה שבהם נראה שכל החלקים נתקעים במקומם, אבל אתה אמור לפרק אותם (ולהחזיר אותם שוב)? אתה קצת משחק עד שאתה מרגיש קצת יותר רופף מהשאר, נכון? לפעמים הוכחות הן קצת כאלה. כשאתה מבין משהו טוב, אתה יכול 'להרגיש' איפה הדברים משודכים חזק ואיפה הם רפויים יותר.

לפעמים אתה גם מקווה שברק (השראה) יכה. מדי פעם זה קורה.

(כל זה אולי לא בדיוק עונה על השאלה, אבל אני מקווה שזה נותן קצת תובנה.)

בניגוד לפיזיקאים, כימאים, מהנדסים או אפילו סוציולוגים, אני לא יכול לראות מאיפה מתמטיקאי (מלבד סטטיסטיקאים) אוסף את הנתונים שלהם. כמו כן, בניגוד למקצועות האחרים שהוזכרו לעיל, לא ניכר כי מתמטיקאים מבצעים ניסויים כלשהם.

אני "אוסף נתונים" ומבצע ניסויים "על ידי עבודת ההשערות שלי בהקשר של דוגמאות ספציפיות. אם ההשערה מסתדרת בכמה דוגמאות, זה גורם לי להיות בטוח יותר שזה עשוי להיות נכון באופן כללי.

לדוגמה, נניח שאני חושב שלכל מרחב טופולוגי של צורה מסוימת יש מאפיין מסוים. אתחיל להסתכל על כמה רווחים "פשוטים", כמו הקו האמיתי, ולראות אם יש להם את הנכס. אם כן, אני יכול להסתכל על שטח מסובך יותר. לעתים קרובות, כשאני מסתכל על אילו תכונות ספציפיות של הדוגמאות היו נחוצים כדי להראות שיש להם את המאפיין המדובר, זה אומר לי אילו השערות אני צריך להוסיף כדי להפוך את ההשערה שלי למשפט.

זה לא זהה לניסויים מדעיים, וגם לא כמו ניסויים במחשב. , שחשוב גם בתחומים שונים במתמטיקה. אבל זה האוב בכל אופן, צורת ניסוי.